Question

可降阶的高阶微分方程求解方法

先令y‘=p，求出来的是p的平方等于什么，如果要p等于什么，就必须开根号，这样把p换回dy/dx，就很难积出来，例如这一题：y" = (1 + y'^2)^(3/2)

Answer 1

p'=(1+p^2)^(3/2)
dp/(1+p^2)^(3/2)=dx
令p=tan t, -pi/2<t<pi/2
dp=1/cos^2 t dt
(1+tan^2 t)^(3/2)=1/cos^3t
整理后得
cost dt=dx
sint=x+C
p=tant=(x+C)/根号(1-(x+C)^2)
y=∫(x+C)/根号(1-(x+C)^2)dx
=(-1/2)∫1/根号(1-(x+C)^2)d(1-(x+C)^2)
=-根号(1-(x+C)^2)+D
C,D为待定常数