Question

n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有?

Answer 1

n阶方阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量!
[证明] 充分性：已知A具有n个线性无关的特征向量X1,X2,……,则AXi=入iXi i=1,2,……,n
A[X1 X2 ……Xn]=[入1X1 入2X2 ……入nXn]
=[X1 X2 ……Xn]*
X1,X2,Xn线性无关,故P=[X1 X2 Xn]为满秩矩阵,令V=*,则有AP=PV
V=AP/P
必要性：已知存在可逆方阵P,使
AP/P=V=*
将P写成列向量P=[P1 P2 Pn] Pn为n维列向量
[AP1 AP2……APn]=[入1P1 入2P2……入nPn]
可见,入i为A的特征值,Pi为A的特征向量,
所以,A具有n个线性无关的特征向量.
注：因为上面的过程是我自己手工打上去的,好多符号百度都打不出来,将就能看懂就好,其中*表示的是一个n阶对角矩阵,对角线上的矢量分别为入1,入2……入n
n阶矩阵在复数范围内,一定有n个特征值（重特征值按重数计算个数）,从这个意义上说,矩阵的特征值个数与矩阵的阶数是有关系的.n阶矩阵在实数范围内有多少个特征值就不一定了.
但是有一个重要的结论需要知道：n阶实对称矩阵一定有n个实特征值（重特征值按重数计算个数）.