Question

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1,AB=2.(1)证明:当点E在棱AB上移动时，D1E垂直A1D;(2)当E为AB的中点...

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1,AB=2.(1)证明:当点E在棱AB上移动时，D1E垂直A1D;(2)当E为AB的中点时，求二面角D1-EC-D的余弦值和点B到平面ECB1的距离。

Answer 1

1、连结A1D，交AD1于F，

∵AD=AA1，

∴矩形ADD1A1是正方形，

∴A1D⊥AD1，

∵AB⊥平面ADD1A1，

A1D∈平面ADD1A1，

∴AB⊥A1D，

∵AB∩AD1=A，

∴A1D⊥平面ABD1，

∵D1E∈平面ABD1，

∴D1E⊥A1D。

2、在底面矩形ABCD中，连结DE、CE，

AE=BE=1=AD=BC，

∴△ADE和△BEC都是等腰RT△，

∴〈AED=〈BEC=45°，

∴〈DEC=180°-45°-45°=90°，

即DE⊥CE，

∵DD1⊥平面ABCD，

BC∈平面ABCD，

∴DD1⊥CD，

∵DD1∩DE=D，

∴CE⊥平面DD1E，

∵D1E∈平面D1DE，

∴CE⊥D1E，

∴〈D1ED是二面角D1-EC-D的平面角，

根据勾股定理，

DE=√2，，

D1E=√（DD1^2+DE^2)=√3，

∴cos<DED1=DE/D1E=√2/√3=√6/3,

∴二面角D1-EC-D的余弦值为√6/3。

S△BCE=BE*BC/2=1*1/2=1/2，

∴VB1-BEC=S△BCE*BB1/3=1/6，

B1E=√2，

B1C=√2，

∴B1E=B1C，

CE=√2，

△B1EC是正△，

S△B1EC=（√3/4）*（√2）^2=√3/2，

设B至平面ECB1距离为d,

VB-ECB1=S△ECB1*d/3=√3d/6，

VB1-BEC=VB-ECB1，

1/6=√3d/6，

∴d=√3/3，

∴点B到平面ECB1的距离为√3/3。 

Answer 2

AD=AA1=1
则 AA1D1D是正方形
∴A1D⊥AD1
又A1D⊥AB
∴A1D⊥平面ABC1D1
而D1E在平面ABC1D1上
∴D1E垂直A1D

当E为AB的中点时，
D1E=√3, EC=√2，D1C=√5
cos<D1EC=(3+2-5)/2√6=0

∵△ECB1是边长为√2的等边三角形
V=V
∴1/2*√2*（√2*sin60°）*H/3=1/2*1*1*1/3
√3H/6=1/6
H=√3/3