Question

在三角形ABC中，2B＝A+C,且1/cosA+1/cosC=-根号2/cosB,求cos(A-C)/2的值

Answer 1

解：∵2B=A+C
又 A+B+C=π
∴ 3B=π
则 B=π/3
∴ A+C=2π/3
而 1/cosA+1/cosC=-√2/cosB
∴ (cosA+cosC)/cosAcosC=-√2/cosπ/3
∴[2cos(A/2+C/2)*cos(A/2-C/2)]/(1/2)*[cos(A+C)+cos(A-C)]
=-2√2
∴ -√2cos(π/3)*cos(A/2-C/2)=cos(2π/3)+cos(A-C)
∴(-√2/2)*cos(A/2-C/2)=-1/2+2cos²(A/2-C/2)-1
整理，得
4cos²(A/2-C/2)+√2cos(A/2-C/2)-3=0
解，得
cos(A/2-C/2)=√2/2 或cos(A/2-C/2)=-3√2/4
∵A+C=2π/3
∴0<A<2π/3，0<C<2π/3
∴-2π/3<A-C<2π/3
则 -π/3<A/2-C/2<π/3
∴ cos(A/2-C/2)>0
所以 cos(A/2-C/2)=√2/2

注：cosA+cosC=2cos(A/2+C/2)*cos(A/2-C/2) ①
cosA*cosC=(1/2)*[cos(A+C)+cos(A-C)] ②
①式是运用了“和差化积”公式，②式是运用了“积化和差”公式。

Answer 2

解：有题设知A＋B＋C=3B=π故B=π/3=60'因此cosB =1/2题设条件化为1/cosA ＋1/cosC=-2√2又由和差化积积化和差倍角公式1/cosA ＋1/cosC＝（cosA＋ cosC）／cosAcosC＝4cos(A ＋C/2)cos(A-C/2)/(cos(A ＋C) cos(A-C))=2cos(A-C/2)/(-1/2) ＋cos(A-C)=-2√2
设（A-C）/2＝x 那么上式化为cosx /(-1/2)＋ cos2x=-√2 推出4cosx ^2 ＋√2cosx-3=0 解得cosx=√2/2 (另外一个值－3√2/4舍去，因为不可能是负值)即cos （A-C）/2=√2/2

Answer 3

∵在三角形ABC中，
∠A+∠B+∠C=180º
2∠B＝∠A+∠C
∴3∠B=180º＝＝＞∠B=60º＝＝＞cosB=1/2 cos ﹙A+C﹚= cos2B=﹣1/2
∵1/cosA+1/cosC=﹣√2／cosB=﹣2√2
又∵1/cosA ＋1/cosC
＝（cosA＋ cosC）／cosAcosC
＝[4cos(A ＋C﹚/2cos(A-C﹚/2]／[cos(A ＋C) ＋cos(A-C)]
＝2cos﹙(A-C﹚/2／[(-1/2) ＋cos(A-C)]
∴2cos(A-C﹚/2／[(-1/2) ＋cos(A-C)]=﹣2√2
∴4cos²﹙A-C﹚/2 ＋√2cos﹙A-C﹚/2-3=0
解得;cos(A-C﹚/2=√2/2 ﹛cos(A-C﹚/2=－3√2/4＜﹣1舍去，﹜
∴cos （A-C）/2=√2/2