Question

已知f（x）连续，∫x0tf(x−t)dt＝1−cosx，求∫π20f(x)dx的值．？

Answer 1

简单分析一下，详情如图所示

Answer 2

解题思路：由已知条件 ∫ x 0 tf(x−t)dt＝1−cosx ，要求 ∫ π 2 0 f(x)dx 的值，往往是要求出被积函数f（x）的表达式．而要求出被积函数的表达式，需要 ∫ x 0 tf(x−t)dt＝1−cosx 两边对x求导，但由于被积函数里有f（x-t），因此必需先换元．
解； 令u=x-t，则当t=0时，u=x；t=x时，u=0；且du=-dt
因此

∫x0tf(x−t)dt＝−
∫0x(x−u)f(u)du＝
∫x0(x−u)f(u)du
=x
∫x0f(u)du−
∫x0uf(u)du＝1−cosx
∴x
∫x0f(u)du−
∫x0uf(u)du＝1−cosx两端对x求导得：

∫x0f(u)du+xf(x)−xf(x)＝sinx
即：
∫x0f(u)du＝sinx
在上式中，令x＝
π
2，便得

∫
π
20f(x)dx=sin
π
2＝1
,7,