Question

等腰直角三角形ABC中,角BAC=90,AB=AC,BE平分 角ABC交AC于E,过C作CD垂直BE于D,过A作AT垂直BD于T.

求AT+TE与BE的数量关系。麻烦格式写清楚点，谢谢啦~
还要连接AD

Answer 1

如图，设AB=AC=a，∠ABE=t，

∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABE=t=∠ABC/2=45°/2=22.5°

∵△ABE为直角三角形，又AT⊥BD，∴△ATE∽△BAE

∴∠TAE=∠ABE=t，

∴AT=asint，AE=atant，TE=AEsint=atant*sint，BE=a/cost

 ∴(AT+TE)/BE=(1+tant)sint*cost=1/2*(1+tant)sin(2t)=1/2*(1+tan22.5°)sin45°

而由sin45°=√2/2=2tan22.5°/(1+tan²22.5°)解得tan22.5°=√2-1      （√2+1>1舍弃）

∴(AT+TE)/BE=1/2*(1+tan22.5°)sin45°=1/2*(1+√2-1)*√2/2=1/2

即AT+TE的长度为BE的一半

追问

对不起，你写的我看不懂

追答

哪里看不懂？

追问

我初一，√、tant……都不懂，你可不可以只用初二上的全等知识解题啊 另我说掉了要连接AD 还有一个疑问：F是从哪来的？ 谢谢谢谢~

追答

初二么，那只有用全等三角形和相似三角形了
BE为∠ABC平分线，过E作EF⊥BC于F，则有△ABE≌△AFE
在直角三角形ABC中，有AB=AC=a，BC=√2a
EF⊥BC, AB⊥AC，易知△EFC∽△BAC => EF/AB=CE/BC=AE/AB
=> AE/CE=AB/BC=1/√2 => CE=√2AE
=> AC=AE+CE=(1+√2)AE => AE=AC/(1+√2)=(√2-1)a
AT⊥BE, AB⊥AC , 易知△ATE∽△BAE => AT/AE=AB/BE , TE/AE=AE/BE
=> (AT+TE)/AE=(AB+AE)/BE (1)
△ABE为直角三角形，∴BE^2=AB^2+AE^2 (2)
(1)/(2)，得 (AT+TE)/BE=(AB+AE)*AE/(AB^2+AE^2)
将AB=a, AC=a, AE=AC(√2-1)=(√2-1)a 代入
得 (AT+TE)/BE=(1+√2-1)*(√2-1)a^2/(a^2+(√2-1)^2a^2)
=√2(√2-1)/(4-2√2)=(2-√2)/[2(2-√2)]=1/2
∴ (AT+TE)=BE/2 即AT+TE为BE的一半

追问

我只学了全等…… √是什么 我没查到

追答

根号

追问

你能只用全等做么 根号啥的我没学啊

Answer 2

如图，设AB=AC=a，∠ABE=t，

∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABE=t=∠ABC/2=45°/2=22.5°

∵△ABE为直角三角形，又AT⊥BD，∴△ATE∽△BAE

∴∠TAE=∠ABE=t，

∴AT=asint，AE=atant，TE=AEsint=atant*sint，BE=a/cost

 ∴(AT+TE)/BE=(1+tant)sint*cost=1/2*(1+tant)sin(2t)=1/2*(1+tan22.5°)sin45°

而由sin45°=√2/2=2tan22.5°/(1+tan²22.5°)解得tan22.5°=√2-1      （√2+1>1舍弃）

∴(AT+TE)/BE=1/2*(1+tan22.5°)sin45°=1/2*(1+√2-1)*√2/2=1/2

即AT+TE的长度为BE的一半

Answer 3

设AB=AC=a，∠ABE=t，
∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABE=t=∠ABC/2=45°/2=22.5°
∵△ABE为直角三角形，又AT⊥BD，∴△ATE∽△BAE
∴∠TAE=∠ABE=t，
∴AT=asint，AE=atant，TE=AEsint=atant*sint，BE=a/cost
∴(AT+TE)/BE=(1+tant)sint*cost=1/2*(1+tant)sin(2t)=1/2*(1+tan22.5°)sin45°
sin45°=√2/2=2tan22.5°/(1+tan²22.5°)解得tan22.5°=√2-1 （舍弃）
∴(AT+TE)/BE=1/2*(1+tan22.5°)sin45°=1/2*(1+√2-1)*√2/2=1/2
即AT+TE的长度为BE的一半