Question

已知定义在R上的奇函数满足f(x)＝x∧2＋2x(x≥0)，若f(3－a∧2)＞f(2a)，求实数a的取值范围。答案是（...

已知定义在R上的奇函数满足f(x)＝x∧2＋2x(x≥0)，若f(3－a∧2)＞f(2a)，求实数a的取值范围。答案是（－3，1），求详解

Answer 1

当x≥0可以判定函数f（x）=x^2+2x是增函数，
f（x）是奇函数，则f（0）=0，则f（x）图像关于原点成中心对称且奇函数的定义域必须关于原点（对称，所以f（x）是R上的增函数．
由f（3-a2）＞f（2a），
于是3-a2＞2a，
因此，解得-3＜a＜1．

Answer 2

1证明函数在(0,+∞）上单调增
对任意的0<x1<x2
y1-y2=(x1^2-x2^2)+2(x1-x2)
=(x1-x2)(x1+x2+2)
因为0<x1<x2
所以(x1-x2)<0
x1+x2+2>0
所以(y1-y2)<0
y1<y2
由单调增函数定义可知：函数f(x)在（0，+∞）上单调增；
2）再证明函数f(x)在（-∞，0）上也单调增：
对任意的x1<x2<0==>
-x1>-x2>0
因为f(x)在（-∞，0）上也单调增,所以
f(-x1)>f(-x2)
又因为f(x)是偶函数，
所以f(-x1)=-f(x1) ; f(-x2)= - f(x2)，代入上式得；
-f(x1)> -f(x2)
f(x1)<f(x2)
所以f(x)在（-∞，0）上也单调增,
3）整合f(x)在R上单调增；
a,当x1,x2同为正值时地，结论已证，
b，当x1,x2同为负值时也证，
c) 当x1<0<x2时，f(x1)<f(0)
f(0)<x2
所以f(x1)<f(x2)所以f(x)在R上单调增：
由f(3-a^2)>f(2a)
3-a^2>2a
(a-1)*(a+3)<0
-3<a<1

Answer 3

设x≤0，则-x≥0 f(-x)=(-x)²+2(-x)=x²-2x=-f(x) f(x)=-x²+2x (x≤0) 已知f(x)=x²+2x (x≥0) 易证f(x)在R上单调递增，若f(3-a²)>f(2a)则3-a²>2a，解得-3<a<1

Answer 4

f(x) = (x+1)^2-1(x>=0)，借助函数示意图易知，在R+上为增函数；
又f(x)在R上是奇函数，f(x)关于原点成中心对称，借助函数示意图可知f(x)在整个R上为增函数。
于是3-a^2>2a，(a-1)(a+3)<0，于是-3<a<1