Question

线性代数第五版习题五第24题为什么Aa=aaTa=a（aTa）=（aTa）a？为什么aaT=aTa？

24.设a=(a1,a2...,an)T,a1不等于0,A=aaT.
(1)证明入=0是A的n-1重特征值;
证明 ： 设入是A的任意一个特征值,x是A的对应于入的特征向量,则有
Ax=入x,
（入^2）x=（A^2）x=aaTaaTx=aTaAx=入aTax,

上述中，为什么aaTaaTx=aTaAx？aaT=aTa？

Answer 1

等式aaT=aTa的左边是n×n的，右边是1×1的，所以这个等式不成立。
等式a（aTa）=（aTa）a是从哪儿得到的呢。

追问

在线性代数的习题书中的，原题：设a=（a1，a2，。。。an）T，a不等于0，A=aaT，（1）证明入=0是A的n-1重特征值；（2）求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量。习题书上说求特征向量时，由A=aaT，有Aa=aaTa=a（aTa）=（aTa）a，按定义，即知A有非零特征值入=aTa，且对应的特征向量为a.

追答

①追问中的这句话
“由A=aaT，有Aa=aaTa=a（aTa）=（aTa）a，按定义，即知A有非零特征值入=aTa，且对应的特征向量为a”
是正确的。
这句话是用式Aa=aaTa=a（aTa）=（aTa）a★
证明了A有非零特征值入=aTa，且对应的特征向量为a。
解释如下：
按定义，如果有数入和n维非零列向量X使关系式AX=入X▲成立，则入是特征值，X是特征向量。
而只看式Aa=aaTa=a（aTa）=（aTa）a★的左右（中间是推导），即Aa=（aTa）a，将此与▲
对照：a对应着X；aTa对应着入，注意到a是n维非零列向量（取它作为特征向量X）；aTa是非零数（取它作为特征值入），所以说“按定义，即知A有非零特征值入=aTa，且对应的特征向量为a”。
强调以下：本题中【aTa是非零数=a1^2+a2^2+a3^2+┅+an^2，记为入】
式★的推导【Aa=aaTa是将A=aaT代入
=a（aTa）是用的结合律重新结合一下
=（aTa）a是因为aTa=入是数，而有数入*矩阵=矩阵*数入这样的算律◎，
在此矩阵=a】

②问题补充中的这句话
“设入是A的任意一个特征值，X是A的对应于入的特征向量，则有 AX=入X，
（入^2）X=（A^2）X=aaTaaTX=aTaAX=入aTaX▲”
是基于假设入=aTa已经是A的（任意）一个特征值，在这样的假设之下，证明了等式▲成立。
以下解释式▲的推导：
（入^2）X=（A^2）X可用书P120例8结论（1）得到，
=aaTaaTX是将A=aaT代入得到，
然后结合为=a（aTa）aTX，然后同◎理=（aTa）aaTX，
再将A=aaT代入=（aTa）AX，去掉结合的括号=aTaAX，
将AX=入X代入=aTa入X，把数aTa与入交换得到=入aTaX。

③关于为什么aaTaaTx=aTaAx，已经在②中解释。
关于aaT=aTa，已经在原回答中解释。

Answer 2

记住：当a=（a1，a2，。。。an）T
列向量
那么aTa是一个常数（常数当然可以随便改变位置），而aaT是一个n阶方阵。

Answer 3

你这个A是什么矩阵、T又是什么，a呢？把题详细说一遍吧

追问

原题：设a=（a1，a2，。。。an）T，a不等于0，A=aaT，（1）证明入=0是A的n-1重特征值；（2）求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量。习题书上说求特征向量时，由A=aaT，有Aa=aaTa=a（aTa）=（aTa）a，按定义，即知A有非零特征值入=aTa，且对应的特征向量为a.