Question

一道很简单的高等数学选择题，关于定积分求导的，求详细答案

不知道答案有没有错

Answer 1

这样的题还要用普通方法做完全就是中了出题人的圈套。
令f(x)=-x,代入求得F（x）=1/6 x^3
一下就可以排除ABD，OK，只剩C可以选了，如果不能排除3个选项就再找一个简单的特例。这中间有很深的 集合思想 希望楼主好好想一想什么道理。

特殊赋值法是必须要深刻掌握的方法，否则选择题永远是弱项。掌握了特殊赋值法，函数选择题就是一堆送分的渣渣，最多2分钟搞定的事情

Answer 2

F′(x)=[0，x]∫{∂[(x-2t)f(t)]/∂x}dt+(x-2x)f(x)(dx/dx)=[0，x]∫f(t)dt-xf(x)>0，故F(x)是增函数。
这是因为[0，x]∫f(t)dt是以x为底边的曲边梯形的面积，而xf(x)是以x为底边，f(x)为高
的矩形的面积，由于f(x)是单调减函数，故曲边梯形的面积必大于矩形的面积，从而
使得F′(x)>0，故F(x)必是增函数，故应选C。
***莱布尼兹公式：若F(x)=[α(x)，β(x)]∫f(x，t)dt，那么：
dF/dx=[α(x)，β(x)]∫[∂f(x，t)/∂x]dt+f[x，β(x)]β′(x)-f[x，α(x)]α′(x)
在本题中，α(x)=0，β(x)=x；f(x，t)=(x-2t)f(t)；

Answer 3

F(x) = x∫f(t)dt - 2∫tf(t)dt
F'(x) = xf(x) + ∫f(t)dt - 2xf(x) = ∫f(t)dt - xf(x)
∫f(t)dt表示的是f(x)在区间[0,x]下的面积，而xf(x)则是[0,x][0,f(x)]下矩形的面积，由于f(x)是单调减，所以∫f(t)dt > xf(x)

所以正确答案是C
不过需要一个f(x) > 0的条件

追问

F'(x) = xf(x) + ∫f(t)dt - 2xf(x) 这个是怎么得出的？

追答

利用(uv)' = uv' + vu'

追问

无需附加条件： x ( f(ξ) - f(x) ) > 0 （对于x﹥0或是 x﹤0 都成立）是怎么回事？

追答

积分中值定理

Answer 4

直接套公式可得
F'(x)=∫[0,x] f(t)dt - xf(x)=∫[0,x] {f(t)-f(x)}dt
由于f(x)单调减 ，所以 x>0时 当0≤t≤x有 f(t)<f(x) 此时F'(x)>0
x>0时 当x≤t≤0有 f(x)<f(t) 此时F'(x)=∫[x,0] {f(t)-f(x)}dt >0

所以F'(x)≥0 F(X)为增函数 答案为C