Question

已知0<x<1求证(a^2)/x+(b^2)/(1-x)≥(a+b)^2

已知0<x<1求证(a^2)/x+(b^2)/(1-x)≥(a+b)^2

Answer 1

因为0<x<1，所以可以设x=（sinA)^2（0<A<90度）
则求证(a^2)/x+(b^2)/(1-x)≥(a+b)^2变为
(a^2)/（sinA)^2+(b^2)/（cosA)^2≥(a+b)^2，即
(a^2)/（sinA)^2+(b^2)/（cosA)^2≥a^2+b^2+2ab，即
(a^2)/（sinA)^2-a^2+(b^2)/（cosA)^2-b^2≥2ab，即
(a^2)*（cosA)^2/（sinA)^2+(b^2)*（sinA)^2/（cosA)^2≥2ab
显然左边运用a^2+b^2≥2ab公式，即(a^2)*（cosA)^2/（sinA)^2+(b^2)*（sinA)^2/（cosA)^2≥2（a^2*cosA/sinA）（b^2*sinA/cosA）=2ab
所以原不等式成立

Answer 2

一个很重要的不等式:权方和不等式
楼主自己在百度上搜索吧

权方和不等式用来求解一些分式的极值,要比琴森、柯西等不等式简洁得多。