Question

已知三角形的三边长是a,b,c,且m为正数,求证 a/(a+m)+b/(b+m)>c/(c+m)

Answer 1

方法1
a,b,c,且m为正数
所以(a+m） (b+m） (c+m)都是大于0
要证a/(a+m) +b/(b+m)>c/(c+m)
即要a(b+m)*(c+m)+b(a+m)*(c+m)>c(a+m)(b+m)
即abc+abm+acm+amm+abc+abm+bcm+bmm-abc-acm-bcm-cmm>0
即abm+amm+abc+abm+bmm-cmm>0
又因为a+b>c mm>0
所以amm+bmm>cmm
所以abm+amm+abc+abm+bmm-cmm>0
得证
方法2
a/(a+m)+b/(b+m)-c/(c+m)(相减通分)
=[a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m)]/[(a+m)(b+m)(c+m)]
因为三角形ABC三边长是a ,b,c>0,且m为正数
所以分母[(a+m)(b+m)(c+m)]>0
又因为a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m)
=abc+abm+acm+am^2+abc+bam+bcm+bm^2-abc-cam-cbm-cm^2
=abc+(abm+bam)+(am^2+bm^2-cm^2)
因为a+b>c(三角形两边之和大于第三边)
所以am^2+bm^2=(a+b)m^2>cm^2
所以(am^2+bm^2-cm^2)>0
abc+(abm+bam)>0
所以a/(a+m)+b/(b+m)>c/(c+m)
3.构造函数:
检举 设f(x)=x/(x+m)
= 1 - m/(x+m);
现在要证明的就是
a+b>c>0 ,则 f(a)+f(b)>f(c).
先证明一个引论 f(x)=x/(x+m)当x>0时是增函数
证明：f(x)=x/(x+m)=1-m/(x+m) 这样就可以看出来它是一个增函数
a/(a+m)+b/(b+m)>a/(a+m+b)+b/(a+b+m)=(a+b)/(a+b+m)
在三角形中,a+b>c 这样根据引论,就可以得到
(a+b)/(a+b+m)>c/c+m
所以
a/(a+m)+b/(b+m)>c/(c+m)