Question

已知函数f（x）=|x+a|+|x-2|

（1）当a=-3时，求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若f（x）≤|x-4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围
(主要是第二问)

Answer 1

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Answer 2

解：（1）当a=-3时，f（x）≥3 即|x-3|+|x-2|≥3，即 x≤23-x+2-x≥3​，或2＜x＜33-x+x-2≥3​，或x≥3x-3+x-2≥3​．
解得 x≤1或x≥4，故不等式的解集为 {x|x≤1或x≥4}．
（2）原命题即f（x）≤|x-4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2-x≤4-x在[1，2]上恒成立，等价于-2-x≤a≤2-x在[1，2]上恒成立，
解得-3≤a≤0，故a的取值范围为[-3，0]．

Answer 3

（1） 当a=3时，f（x）=|x-3|+|x-2|≥3
可直接根据基本不等式得|x-3|+|x-2|≥|x-3+x-2|=|2x-5|
则可得2x-5≥3或2x-5≤-3
所以可得x≥4或x≤1

第一次回答问题，不知道对不对~见谅~

Answer 4

（2）若f（x）≤|x-4|的解集包含[1，2]，则x=1，x=2适合不等式，即
|1+a|+1≤3 (1)
且 |2+a|≤2 (2)
(1)可化为 -2≤1+a≤2，解得 -3≤a≤1
(2)可化为 -2≤2+a≤2，解得 -4≤a≤0
从而 -3≤a≤0

追问

就这样？

追答

应该可以了

Answer 5

（2）由题意可知，当1<=x<=2时，有

f(x)=|x+a|+|x-2|<=|x-4|

此时，|x-2|=2-x、|x-4|=4-x

即|x-a|+2-x<=4-x

|x-a|<=2

-2<=x-a<=2

a-2<=x<=a+2

由于[1,2]是[a-2,a+2]的子集

所以，a-2<=1且a+2>=2

a的解集为[-3,0]