Question

设函数f(x)是奇函数，当x∈[-2,0]时，f(x)=1/3x^3+x^2-2ax(a为实数)

设函数f(x)是奇函数，当x∈[-2,0]时，f(x)=1/3x^3+x^2-2ax(a为实数)
(1)若f(x)在x=-1处有极值，求a的值。
(2)求x∈(0,2]，f(x)的解析式。
(3)若f(x)在[3/2,2]是增函数，求a的取值范围。

Answer 1

(1)f'(x)=x²+2x-2a ∵ f(x)在x=-1处有极值 ∴f'(-1)=1-2-2a=0 ∴a=-1/2
(2) ∵ 函数f(x)是奇函数 ∴f(x)=-f(-x) ∴f(-x)=-1/3x^3-x^2+2ax
∴ 当x∈(0,2]，f(x)=1/3x^3-x^2-2ax
3)由(2)得在x∈[3/2,2]，f(x)=1/3x^3-x^2-2ax f'(x)=x²-2x-2a=(x-1)²-2a-1
若f(x)在x∈[3/2,2]是增函数,则f'(x)≥0 即(x-1)²-2a-1≥0
当x=3/2时，f'(x)有最小值为-2a-3/4
∵f'(x)≥0 ∴f'(x)min≥0 即-2a-3/4≥0 ∴a≤-3/8