Question

怎么判断函数f(x)=(x²+2x-3)²的单调性？

A.y=f(x)在区间[-1,1]上是增函数
B.y=f（x）在区间（-无穷，-1]上是增函数
C.y=f（x）在区间[-1,1]上是减函数
D.y=f（x）在区间（-无穷，-1]上是减函数
麻烦给出过程！

Answer 1

解：这是一个复合函数（它具有同增异减）
它是由f(x)=g(x)^2 和g(x)=x²+2x-3复合而成
易知g(x)=x²+2x-3 在(负无穷，-1]上减 在[-1,正无穷）为增
而f(x)=x^2函数在（负无穷，0]为减，在[0,正无穷）为增
故根据复合函数的同增异减性得
f(x)在(负无穷，-1]为增；在[-1,0]为减；在[0,正无穷）为增.
故选B
上面那位仁兄的解释有些问题，请注意！

追问

谢谢你！

追答

不客气！哈哈

Answer 2

先判断x²+2x-3的单调性
配方为(x+1)²-4
对称轴为x=-1，最小值为-4,这个函数的单调递减区间为(-无穷大，-1)，单调递增区间为[-1，+无穷大）
再令x²+2x-3=0，即(x+3)(x-1)=0
求得与x轴的交点坐标为(-3,0)和（1,0）
将x轴下方的图像关于x轴翻上去，即可以得到f(x)=(x²+2x-3)²的图像
从而可得f(x)的单调递减区间为(-无穷大，-3]U[-1,1]
单调递增区间为[-3,-1]U[1，+无穷大)
所以选C