Question

数学-求数列1+1/2+1/3+1/4+1/5+…+1/(n-1)+1/n的前n项和

Answer 1

这个数列叫做调和级数
其和是发散的
有限项求和是数学史上的一个难题
由数学家欧拉于1734年解出近似值
具体推导过程如下：
首先列出幂级数
ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...
（具体推导过程参见牛顿的《流数法》）
所以ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...
于是
1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...
代入x=1,2,...,n，可得出：
1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...
1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - ...
......
1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 + ...
相加可得
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + ......
第二项开始后面的数列是收敛的，定义和为r
则1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) +r
欧拉近似地计算了r的值，约为0.5772156649。这个数值也被称作欧拉常数。

Answer 2

Answer 3

此数列无通项公式

Answer 4

（1/2+1/n）（n-1）/2+1
化简不了了吧···应该是对的嗯

Answer 5

用错位相减法解