Question

已知直线l过点p(3,4), 若直线l与x轴，y轴的正半轴分别相交与点A,B，求三角形AOB的面积的最小值。

Answer 1

设直线l在x轴与y轴上的截距分别为a和b (a>0，b>0)
那么直线l的方程为：x/a+y/b=1，A(a，0)，B(0，b)
而点P(3，4)在直线l上，那么3/a+4/b=1
|OA|=a，|OB|=b
S△OAB=1/2*|OA|*|OB|
=1/2*ab
=1/2*ab*(3/a+4/b) (因为3/a+4/b=1)
=1/2*(3b+4a)
=1/2*(3b+4a)*(3/a+4/b) (因为3/a+4/b=1)
=1/2*(9b/a+12+12+16a/b)
=1/2*(9b/a+16a/b+24)
≥1/2*(2√144+24)
=24 (当且仅当9b/a=16a/b，即a=6，b=8时取等)
所以S△OAB的最小值为24

Answer 2

l:y-4=k(x-3)
k<0
x=0,y=4-3k
B(0,4-3k)
y=0,x=3-4/k
A(3-4/k,0)
S=1/2OA*OB=1/2*(3-4/k)*(4-3k)
=1/2(12-9k-16/k+12)
=1/2(24-9k-16/k)=1/2(24-(9k+16/k))
t=9k+16/k<=-2*12=-24(k<0)
9k=16/k=-12
k=-12/9=-4/3
Smin=1/2*(24-(-24))=1/2*(24+24)=1/2*48=24
三角形AOB面积的最大值是24

Answer 3

用截距式方程把条件表示出来，然后再用不等式求出最小值