Question

已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，（1）求△ABO的面积最小值及其这时的直线l

已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，（1）求△ABO的面积最小值及其这时的直线l的方程；（2）求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值。

Answer 1

解：直线交x轴于A点，交y轴于B点
∵过P(3,2)，可设直线方程y-2=k(x-3) kx-y-3k+2=0 ∵在正半轴 ∴k<0
【1】令x=0，y=-3k+2 B(0,-3k+2)
令y=0,x=(3k-2)/k A((3k-2)/k,0)
S△=1/2·OA·OB=1/2·(-3k+2)·((3k-2)/k)=-(3k-2)^2/2k
=(-9k^2+12k-4)/2k=-9k/2-2/k-6
∵k<0 -9k/2-1/2k>0 -9k/2-1/2k≥6
S△=-9k/2-2/k+6≥12 当且仅当k=-2/3成立
直线l: y-2=-2(x-3)/3
【2】设直线I的方程为：y=kx+b，与x正半轴交点为(-b/k,0)，与y正半轴交点为(0,b)，
因为直线l过点P(3,2)，
所以2=3k+b
两坐标轴上截距之和=b+(-b/k)=2-3k+(3k-2)/k=5-3k-(2/k)>=5-√6
所以两坐标轴上截距之和为：5-√6

希望回答对你有帮助

Answer 2

解析：
设直线L的斜率为k,k＜0,则方程为y-2=k(x-3),
令x=0,y=2-3k,
y=0,x=3-2/k,
S△AOB=1/2*(2-3k)*(3-2/k)=6-9k/2-2/k,
∵k＜0,∴-k＞0,
-9k/2-2/k≥2√[(-9k/2)*(-2/k)]=6,
当且仅当(-9k/2)=(-2/k)，即k=-2/3时，取=，
∴S△AOB最小值=6+6=12，
此时y-2=-2/3(x-3),即3y+2x-12=0