求积分的两点高斯公式
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高斯求积公式是变步长数值积分的一种,基本形式是计算[-1,1]上的定积分。下面简单说明一下思想(仅仅是说明,而非证明): 假设现在要求f(x)在[-1,1]上的积分值,只允许计算一次f(x)的值,你会怎么做呢?
显然我们会选取一点x0,计算出f(x0),然后用A=f(x0)*2作为近似值。现在问题是怎样选取x0,使得结果尽可能精确呢?
直觉告诉我们选取区间中点最合适,这也就是所谓的中点公式,也就是1点高斯求积公式。
如果选取个点作为计算节点,同样可以按公式:A=k1*f(x1)+k2*f(x2)+...+kn*f(xn)来计算近似值,关键就是如何确定节点xi和系数ki(i=1,2,3,...,n) 理论证明对于n个节点的上述求积公式,最高有2n-1次的代数精度,高斯公式就是使得上述公式具有2n-1次代数精度的积分公式。至于如何确定公式中的节点和系数,最常见的是利用勒让德多项式,具体的这里不方便说,你查查相关资料吧。
显然我们会选取一点x0,计算出f(x0),然后用A=f(x0)*2作为近似值。现在问题是怎样选取x0,使得结果尽可能精确呢?
直觉告诉我们选取区间中点最合适,这也就是所谓的中点公式,也就是1点高斯求积公式。
如果选取个点作为计算节点,同样可以按公式:A=k1*f(x1)+k2*f(x2)+...+kn*f(xn)来计算近似值,关键就是如何确定节点xi和系数ki(i=1,2,3,...,n) 理论证明对于n个节点的上述求积公式,最高有2n-1次的代数精度,高斯公式就是使得上述公式具有2n-1次代数精度的积分公式。至于如何确定公式中的节点和系数,最常见的是利用勒让德多项式,具体的这里不方便说,你查查相关资料吧。
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