Question

命题p：关于x的不等式2的｜x-2｜的次方＜a的解集为空集，命题q:函数y=lg(az2-x+a)的值域是R，如果命题p和q

有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围

Answer 1

p：关于x的不等式2的｜x-2｜的次方＜a的解集为空集，
因为｜x-2｜≥0，所以2的｜x-2｜的次方≥1，
2的｜x-2｜的次方＜a的解集为空集，
则a≤1.

q：函数f(x)=lg(ax2-x+a)的值域为R。
当a≠0的时候,值域为R,就是说ax^2-x+a要取到大于零的所有值。换句话说就是二次函数ax^2-x+a在x轴以上的所有值都要包含，也就是说二次函数必须与x轴有交点。
即a>0(二次函数的开口向上),同时△=1-4a^2≥0，
也就是说0<a≤1/2

当a=0的时候, ax^2-x+a=-x也能取到大于零的所有值.

这样得到q的充分必要条件:0≤a≤1/2。

如果p和q有且仅有一个正确:
当P正确而Q不正确的时候:1/2<a≤1或a<0.
当P不正确,Q正确的时候:∅.
所以最后a的范围为: 1/2<a≤1或a<0.

Answer 2

分析：由不等式2|x-2|＜a的左边为大于或等于1的正数，可知当a≤1时不等式2|x-2|＜a的解集为φ，而函数y=lg（ax2-x+a）的定义域是R，说明相应的二次函数图象开口向上，△＜0，此时不等式ax2-x+a＞0解集为R．再根据两个命题一个是真另一个是假，可以从两个命题至少一个正确的范围内，减去它们均正确的范围，即可得出实数a的取值范围．
解答：解：由不等式2|x-2|＜a的解集为φ得a≤1．
由函数y=lg（ax2-x+a）的定义域是R知：ax2-x+a＞0恒成立．
故
a＞0
△=1-4 a 2 ＜0，解得a＞1/2
由命题p和q有且仅有一个正确，
得a的取值范围是 C A∪B (A∩B)=(-∞，
1/2 ]∪(1，+∞)

Answer 3

①p为真，根据2^|x-2|的图像可知，它的最小值为1，即a≤1
②q为真，因为值域为R，所以真数必须要取到一切正数。令t=ax^2-x+a,则t的最小值必须小于等于0，及△≥0 ∴-1/2≤a≤1/2,又∵该函数开口向上，∴a＞0，∴ 0＜a≤1/2
一）p假q真 a不存在
二）p真q假 1/2＜a≤1∪（负无穷，0]