Question

已知等比数列{ an}，如何求前n项和。

Answer 1

＝[1＋a^(-1)
a^(-2)＋……＋a^(1-n)]
[1＋4＋7
……＋(3n-2)]
前者为等比数列，公比为a^(-1)
后者为等差数列，公差为3
=[1-a^(-n)]/(1-a)
[1
(3n-2)]*n/2
=[1-a^(-n)]/(1-a)
(3n-1)n/2
(裂项法求和
)
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.
通项分解（裂项）如：
（1）1/n(n
1)=1/n-1/(n
1)
（2）1/(2n-1)(2n
1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n
1)]
（3）1/n(n
1)(n
2)=1/2[1/n(n
1)-1/(n
1)(n
2)]
（4）1/(√a
√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5）
n·n!=(n
1)!-n!
[例]
求数列an=1/n(n
1)
的前n项和.
解：设
an=1/n(n
1)=1/n-1/(n
1)
（裂项）
则
sn=1-1/2
1/2-1/3
1/4…
1/n-1/(n
1)（裂项求和）
＝
1-1/(n
1)
＝
n/(n
1)
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
注意：
余下的项具有如下的特点
1余下的项前后的位置前后是对称的。
2余下的项前后的正负性是相反的。