Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，（a,b,c∈R）为偶函数，且图像与坐标轴交与（-根号2,0）和（0，-2）点

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，（a,b,c∈R）为偶函数，且图像与坐标轴交与（-根号2,0）和（0，-2）点
1.求f（x）的解析式
2 已知g(x)=f(x)+2(x+1)+alnx在区间（0,1）上为单调增函数，求实数a的取值范围
3 讨论函数h（x）=ln（1+x²）-(1/2)f（x）-k的零点个数

Answer 1

1.f(x)偶函数，∴b=0;将两点带入f(-√2)=0,f(0)=-2;解得a=1;c=-2;

   ∴f(x)=x^2-2

2.g(x)=x^2+2x+alnx,求导g`(x)=2x+2+a/x,需满足在(0,1)上g`(x)≥0恒成立；显然当a≥0时成立，当a<0时，g``(x)=2-a/(x^2)恒≥0，g`(x)单调递增，g`(x→0+）=负无穷。∴a≥0

3.令f1(x)=ln(1+x^2),f2(x)=(x^2-2+2k)/2,f1(x),f2(x)都为偶函数，我们只考虑正半部分，再构造一个函数y=ln(1+x^2)-x^2/2。

y`=2x/(1+x^2)-x=-x*(x-1)^2/(1+x^2)在x>0时恒≤0；而y(0)=0,∴y1=ln(1+x^2)和y2=x^2/2的关系如图：

∴当k=1时，有1个零解；

   当k>1时，没有零解；

   当k<1时，有两个零解