Question

一道高中数学题9

定线段AB所在直线与定平面a相交，P为直线AB外任一点，且P不在a上，直线AP、PB分别与a交于A`,B`,求证不论P在什么位置，A`B`恒过一定点。

Answer 1

依题意，点 A'、B' 在平面PAB上，也在平面a上，
可得：直线A'B'是平面PAB和平面a的交线；
定线段AB所在直线为定直线AB，
平面PAB上的定直线AB与定平面a的交点为定点，该定点必然在平面PAB与平面a的交线A'B'上，
即有：A'B'恒过一定点。

Answer 2

A'B'恒过一定点，即AB与平面a的交点，证明如下
由于P是直线AB外的一点，所以P,A,B可以形成一个平面，平面PAB
因为P，A，B在同一平面PAB上，所以直线AP,PB必定也在平面PAB上
直线AP，PB交平面a于点A'，B'，直线A'B'在平面a上，也在平面PAB上
所以直线A'B'是平面a与平面PAB的相交线
两平面的相交线A'B'与定线段所在的直线AB相交于一点，
由于相交线A'B'在平面a上，所以直线A'B'与直线AB的交点就是直线AB与平面a的交点

大致思路就是这样，有不明白可以问我。术语那些可能有些不准确吧，修改一下比较好~

Answer 3

ABP所确定的平面一定与平面a相交，相交平面必有相交直线，且平面上的点做平行于该平面的投影一定是平面的相交直线 ，所以A‘B'一定在两片面的相交直线上！
恒过一定点，一定是p在平面a沿平面ABP方向的投影P'