Question

一道简单的数学题，在线等

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a大于0）,方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足0小于x1小于x2小于1/a
1.当x属于（0，x1），证明x小于f(x)小于x1
2.设函数f(x)的图像关于直线x=x0对称，求证x0小于x1除以二
求详解，并问下x属于（0，x1）中，是属于0，x1中的一个，还是属于这个坐标

Answer 1

x∈(0,x1)指属于这个区间，就是0<x<x1

（1）令g(x)=f(x)-x
g(x)最高次数为2
当g(x)=0时有0<x1<x2<1/a
故g(x)在(0,x1)单减
故对x∈(0,x1)有g(x)>g(x1)=0即f(x)>x
f(x)-x1=f(x)-f(x1)=a(x+x1)(x-x1)+b(x-x1)=[a(x+x1)+b](x-x1)
由(1-b)/a=x1+x2得b=1-a(x1+x2)
故f(x)-x1=[a(x-x2)+1](x-x1)<0
∴f(x)<x1

（2）x0=-b/(2a)=-1/(2a)+(x1+x2)/2=(ax1+ax2-1)/(2a)<ax1/(2a)=x1/2

望对你有所帮助，如有不清楚的，欢迎追问~

Answer 2

令F(x)=f(x)-x,则F(x)=a(x-x1)(x-x2)
当x∈(0,x1)时,x1<x2,
∴(x-x1)(x-x2)>0,而a>0
∴F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0,即x<f(x)
x1-f(x)
=x1-[x+F(x)]
=x1-x+a(x-x1)(x-x2)
=(x1-x)[1+a(x-x2)]
∵0<x<x1<x2<1/a,
∴x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0
∴x1-f(x)>0,即f(x)<x1

所以x<f(x)<x1
x∈(0,x1)指属于这个区间，就是0<x<x1

（1）令g(x)=f(x)-x
g(x)最高次数为2
当g(x)=0时有0<x1<x2<1/a
故g(x)在(0,x1)单减
故对x∈(0,x1)有g(x)>g(x1)=0即f(x)>x
f(x)-x1=f(x)-f(x1)=a(x+x1)(x-x1)+b(x-x1)=[a(x+x1)+b](x-x1)
由(1-b)/a=x1+x2得b=1-a(x1+x2)
故f(x)-x1=[a(x-x2)+1](x-x1)<0
∴f(x)<x1

（2）x0=-b/(2a)=-1/(2a)+(x1+x2)/2=(ax1+ax2-1)/(2a)<ax1/(2a)=x1/2

望对你有所帮助，如有不清楚的，欢迎追问~

Answer 3

令F(x)=f(x)-x,则F(x)=a(x-x1)(x-x2)
当x∈(0,x1)时,x1<x2,
∴(x-x1)(x-x2)>0,而a>0
∴F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0,即x<f(x)
x1-f(x)
=x1-[x+F(x)]
=x1-x+a(x-x1)(x-x2)
=(x1-x)[1+a(x-x2)]
∵0<x<x1<x2<1/a,
∴x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0
∴x1-f(x)>0,即f(x)<x1

因此 x<f(x)<x1

Answer 4

令F(x)=f(x)-x,则F(x)=a(x-x1)(x-x2)
当x∈(0,x1)时,x1<x2,
∴(x-x1)(x-x2)>0,而a>0
∴F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0,即x<f(x)
x1-f(x)
=x1-[x+F(x)]
=x1-x+a(x-x1)(x-x2)
=(x1-x)[1+a(x-x2)]
∵0<x<x1<x2<1/a,
∴x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0
∴x1-f(x)>0,即f(x)<x1

所以x<f(x)<x1