Question

已知a1=5,a(n+1)=(5an+12)/(an+6),求数列{an}的通项公式

n+1,n为下标

Answer 1

用“不动点法”。令x=(5x+12)/(x+6), 解此方程，得x=3, x=-4. 用x=3这个根（另一个是一样的）
a(n+1)-3=(5a(n)+12)/(a(n)+6)-3=2[a(n)-3]/[a(n)+6],
取倒数，分离，得 1/[a(n+1)-3]=9/[2(a(n)-3)]+1/2,
令b(n)=1/[a(n)-3], 则 b(n+1)=9b(n)/2+1/2
b(n+1)+1/7=9/2[b(n)+1/7],数列 {b(n)+1/7}是首项为b1+1/7=1/2, 公比为9/2的等比数例。
b(n)+1/7=(9/2)^(n-1)/2, 即1/[a(n)-3]==(9/2)^(n-1)/2-1/7
a(n)=1/{(9/2)^(n-1)/2-1/7}+3.

追问

令x=(5x+12)/(x+6), 解此方程，得x=3, x=-4. 用x=3这个根（另一个是一
为什么你会想到这一步呢？