Question

已知双曲线C:x^2/3-y^2=1的左,右焦点分别为F1,F2

(1)求C上满足向量PF1和向量PF2的数量积等于0的点P的坐标
(2)求C上满足△PF1F2为直角三角形的点P的坐标

Answer 1

已知双曲线C:x²/3-y²=1的左,右焦点分别为F₁，F₂；(1)求C上满足向量PF₁和向量PF₂的数量积等于0的点P的坐标；(2)求C上满足△PF₁F₂为直角三角形的点P的坐标。
解：(1).双曲线参数：a=√3，b=1，c=2；F₁(-2，0)，F₂(2，0)；设双曲线上P点的坐标
为(x，y)；则向量PF₁=(-2-x，-y)； PF₂=(2-x，-y)；
PF₁•PF₂=(-2-x)(2-x)+(-y)(-y)=-(4-x²)+y²=-4+x²+y²=0，故x²+y²=4..........(1)
P在双曲线上，故P点坐标满足双曲线方程，即有x²/3-y²=1........................(2)
(1)+(2)得4x²/3=5，x²=15/4，y²=4-x²=4-15/4=1/4；故P点的坐标为P₁(√15/2，1/2)；
P₂(√15/2，-1/2)；P₃(-√15/2，1/2)；P₄(-√15/2，-1/2).
(2).上述四个△PF₁F₂都是直角三角形；除去上面四个，还可以再作四个RT△：令x=±2，代入
双曲线方程得y²=x²/3-1=4/3-1=1/3，即得y=±√3/3；即还有四个P点满足要求：P‹5›(2，√3/3)；
P‹6›(2，-√3/3)；P‹7›(-2，√3/3)；P‹8›(-2，-√3/3）。