Question

已知函数f(x)=a^x+1/a^x-1(O<a≠1),求f(x）的定义域和值域

还有，关于a的方程2^x+ 1=a^2+ a有解，则x的取值范围

Answer 1

1、函数f(x）的定义域是R
函数f(x）的值域：因为a^x>0，所以f(x)=a^x+1/a^x-1≥2√（a^x*1/a^x）-1=1
所以函数f(x）的值域是[1，+∞）
2、关于a的方程2^x+ 1=a^2+ a有解，则x的取值范围，这个题目是否有问题呀？
方程2^x+ 1=a^2+ a等价于：Y=2^x+ 1-----（1），与Y=a^2+ a------（2）方程组的解
Y=2^x+ 1>1，而Y=a^2+ a≥-5/4，应该是把题目改为：
关于X的方程2^x+ 1=a^2+ a有解，则a的取值范围
这样a^2+ a>1，可得：a>(-1+√5)/2或者a<(-1-√5)/2

Answer 2

（1）（整体换元）设a^x =t属于（0，+∞）， 设1/a^x=1/t属于（0，+∞）
f(x）=t+1/t-1.
根据对勾函数图象，它的范围是【1，+∞），即值域
它的定义域为O<a≠1
（2）2^x=a^2+ a-1
将左右两边看成两个独立的部分，右边的范围是【-5/4，+∞）
要想有解，2^x大于等于-5/4
解得x大于等于log2（-5/4）

Answer 3

定义域为全体实数值域大于等于1.