在三角形ABC中,AD是BC边上的中线,求证:丨AB丨²+丨AC丨²=2(丨AD丨²+丨DC丨²).
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用向量证明比较简单。
因为 AB=AD+DB ，
所以 |AB|^2=|AD|^2+|DB|^2+2AD*DB ，
同理 |AC|^2=|AD|^2+|DC|^2+2AD*DC ，
所以 |AB|^2+|AC|^2=2|AD|^2+|DB|^2+|DC|^2+2AD*(DB+DC) ，
因为 D 是BC的中点，所以 |DB|=|DC| ，且 DB+DC=0 向量，
因此 |AB|^2+|AC|^2=2(|AD|^2+|DC|^2) 。
因为 AB=AD+DB ，
所以 |AB|^2=|AD|^2+|DB|^2+2AD*DB ，
同理 |AC|^2=|AD|^2+|DC|^2+2AD*DC ，
所以 |AB|^2+|AC|^2=2|AD|^2+|DB|^2+|DC|^2+2AD*(DB+DC) ，
因为 D 是BC的中点，所以 |DB|=|DC| ，且 DB+DC=0 向量，
因此 |AB|^2+|AC|^2=2(|AD|^2+|DC|^2) 。
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