Question

从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线,成为该圆的一条折线,1)PA,PB组成的圆O的一条折弦，C是劣弧AB的中

点，直线CD⊥PA于点E，如图1，求证；PE+PB=AE
2）PA,PB组成圆O的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，如图2，则AE,PE与PB之间存在着怎样的数量关系，写出证明你的结论。（详细解答一下谢谢）
不知为什么图片就是传不上来呀

Answer 1

 

图是这样的吧？

（1）如上图，

连接AD、BD，延长DB、AP相交于F

∵AC=BC，

∴∠ADE=∠FDE

此时可证△ADE≌△FDE（ASA）

∴AE=FE，∠A=∠F……①

∵A、D、B、P四点共圆

∴∠FPB=∠FDA[外对角=内对角]

∴∠FBP=∠A【两个△有一个公共角，另外一个角相等，则第三个角必相等】

即∠FBP=∠F

即FP=PB

∴AE=FE=PE+FP=PE+PB

即PE+PB=AE，得证。

 

（2）如下图

三者关系为：PE-PB=AE

证明如下：

连接AD、BD，BD交AP与G

易证△ADE≌△GDE

得AE=EG，∠DAE=∠DGE

又有∠DGE=∠PGB

∠DAE=∠PBG

∴PB=PG

∴GE=PE-PG=PE-PB

∴AE=GE=PE-PB

得证