Question

已知函数f（x）=根号3cos²wx+sinwxcoswx+α（w>0，α∈R）图像的两相邻对称轴间的距离为π/2

（1）求w的值（2）求函数y=f（x）的单调递减区间（3）已知f（x）在区间【0，π/2】上的最小值为1，求α的值。很急！求详解！

Answer 1

(1)
f（x）=√3cos²wx+sinwxcoswx+α
=√3/2(1+cos2wx)+1/2*sin2x+a
=1/2*sin2wx+√3/2*cos2wx)+a+√3/2
= sin(2wx+π/3)+a+√3/2
∵f(x)图像的两相邻对称轴间的距离为π/2
∴f(x)周期T=π, ∴2π/(2w)=π
∴w=1

(2)
f(x)=sin(2x+π/3)+a+√3/2
由2kπ+π/2≤2x+π/3≤2kπ+3π/2,k∈Z
得 kπ+π/12≤x≤kπ+7π/12,k∈Z
∴f(x)单调递减区间为
[kπ+π/12,kπ+7π/12]k∈Z

(3)
∵x∈【0，π/2】
∴2x+π/3∈[π/3,4π/3]
∴2x+π/3=4π/3时，
f(x)取得最小值-√3/2+a+√3/2=a
∵f(x)最小值为1 ∴a=1

Answer 2

f(x)=√3*cos²wx+sinwxcoswx+a
=√3/2*(1+cos2wx)+1/2*sin2wx+a
=√3/2*cos2wx+1/2*sin2wx+a+√3/2
=sin(2wx+π/3)+a+√3/2
(1)令2wx+π/3=kπ+π/2，得：x=(kπ+π/6)/2w (k∈Z)
那么对称轴方程的集合为：x=(kπ+π/6)/2w (k∈Z)
于是：π/2w=π/2，所以w=1
(2)f(x)=sin(2x+π/3)+a+√3/2
令2kπ+π/2≤2x+π/3≤2kπ+3π/2
那么kπ+π/12≤x≤kπ+7π/12
所以f(x)的单调递减区间为[kπ+π/12，kπ+7π/12] (k∈Z)
(3)当0≤x≤π/2时，π/3≤2x+π/3≤4π/3，
那么-√3/2≤sin(2x+π/3)≤1
所以f(x)min=-√3/2+a+√3/2=a=1，即a=1