Question

设函数f（x）=根号3cos²wx+sinwxcoswx+a（其中w＞0，a∈R），且f（x）的图像在y轴右侧的第一个最高点/

设函数f（x）=根号3cos²wx+sinwxcoswx+a（其中w＞0，a∈R），且f（x）的图像在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为π/6
①求f（x）的最小正周期
②如果f（x）在区间[-π/3,5π/6]上的最小值为根号3，求a的值

Answer 1

思路：
1、利用二倍角公式，和积化和差公式
f(x)=√3cos²wx+sinwxcoswx+a
=（√3 /2）*（cos2wx+1）+ 1/2 sin2wx+a
=sin(2wx +π/3 ) +a +√3 /2
f（x）的图像在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为π/6
可知x=π/6时， 2wx +π/3= π/2 解得 w=1/2
所以f(x)=sin(x +π/3 ) +a +√3 /2 ，最小正周期=2π /1=2π
2、x∈[-π/3,5π/6] 时，(x +π/3 )∈[0,7π/6] ,sin(x +π/3 ) ∈[-1/2,1].
从而有f(x)的最小值=-1/2 +a+√3 /2 = √3
解得 a=(√3 +1 )/2

Answer 2

解：根据题意，可知A=2 2 ，
T 4 =6-2=4
所以T=16于是ω=2π T =π 8
将点M的坐标（2，2 2 ），代入y=2 2 sin(π 8 x+ϕ)，得2 2 =2 2 sin(π 8 ×2+ϕ)，即sin(π 4 +ϕ)=1
所以满足π 4 +ϕ=π 2 的ϕ为最小正数解，
即ϕ=π 4
从而所求的函数解析式是y=2 2 sin(π 8 x+π 4 )，x∈R