Question

已知数列{an}中,Sn是它的前n项之和,并且Sn+1=4an+2(n=1,2，…)a1=1.

已知数列{an}中,Sn是它的前n项之和,并且S(n+1)=4an+2(n=1,2，…)a1=1.

(Ⅰ)设bn=a(n+1)-2an (n=1,2,…)，求证数列{bn}是等比数列；

(Ⅱ)设cn= （n=1，2，…），求证数列{cn}是等差数列；

(Ⅲ)求数列{an}的通项公式及前n项和公式.

Answer 1

（1） 证明：∵Sn+1=4an+2
∴Sn+1-Sn=4an+2-4an-1-2
an +1=4an-4an-1
an+1=4(an-an-1)
an+1-2an=2(an-2an-1)
bn=2an-1
即 bn/ bn-1=2
∵a1=1
∴S2=4a1+2
a1+a2= 4a1+2
a2=3a1+2=3+2=5
∴b1= a2-2a1=5-2=3
∴{ bn}是以首项为3，公比为2的等比数列

（2）∵Cn= an/2^n
∴Cn-Cn-1= an/2^n- a n-1/2^n-1= an/2^n- 2a n-1/2^n= an- 2an-1/2^n= bn-1/2^n
=3*2^n-2/2^n =3/4
C1= a1/2=1/2
∴{ Cn}是以首项为1/2，公差为的3/4等差数列
（3）由（2）知{ Cn}是以首项为1/2，公差为的3/4等差数列
Cn=1/2+（n-1）3/4= an/2^n
∴an=2^n-1 +(n-1) 3*2^n/4
∴Sn=4an-1+2=4[2^n-2+ (n-1) 3*2^n/4]
=2+3(n-1)2^n

Answer 2

楼主第三问错了 - -