Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2^(n+1), n∈N*

Answer 1

解：
(1)
n=1时，S1=a1=2a1-2^2
a1=4
n≥2时，
Sn=2an-2^(n+1) S(n-1)=2a(n-1)-2ⁿ
Sn-S(n-1)=an=2an-2^(n+1)-2a(n-1)+2^n=2an-2a(n-1)-2ⁿ
an=2a(n-1)+2ⁿ
等式两边同除以2ⁿ
an/2ⁿ=a(n-1)/2^(n-1) +1
an/2ⁿ-a(n-1)/2^(n-1)=1，为定值。
a1/2^1=4/2=2
数列{an/2ⁿ}是以2为首项，1为公差的等差数列。
an/2^n=2+n-1=n+1
an=(n+1)×2ⁿ
数列{an}的通项公式为an=(n+1)×2ⁿ
(2)
Sn=2an-2^(n+1)=2(an-2ⁿ)=2[(n+1)×2ⁿ-2ⁿ]=n×2^(n+1)
bn=log2(Sn/n)=log2[n×2^(n+1)/n]=log2[2^(n+1)]=n+1
Tn=1/bn+1/b(n+1)+1/(bn+2)+...+1/b(2n-1)
T(n+1)=1/b(n+1)+1/(bn+2)+...+1/b(2n-1)+1/b(2n)+1/b(2n+1)
T(n+1)-Tn=1/b(2n)+1/b(2n+1)-1/bn
=1/(2n+1)+1/(2n+2)-1/(n+1)
=1/(2n+1)-1/(2n+2)>0
随n增大，Tn单调递增，因此当n=1时，Tn有最小值(Tn)min=T1=1/b1=1/2，要对任意n，不等式恒成立，则只有
1/2>k/12
k<6，又k为正整数，k≤5，即存在最大的正整数k=5满足不等式成立。

Answer 2

解;
(1)
s1=a1=2a1-2
a1=2
s2=a1+a2=2a2-4
a2=6
s3=a1+a2+a3=2a3-8
a3=16
s4=a1+a2+a3+a4=2a4-16
a4=40
(2)
sn+1=2an+1-2^(n+1)
sn=2an-2^n
相减,
an+1=2an+1-2an-2^n
a(n+1)-2an=2^n
设bn=a(n+1)-2an
则有:
bn+1/bn=2(常数)
b1=a2-2a1=2
所以{bn}是以2为首项2为公比的等比数列
数列{a(n+1)-2an}是等比数列.
(3)
a(n+1)-2an=2^n,
an-2an-1=2^(n-1),
->
2an-4an-1=2^n,(1)
an-1-2an-2=2^(n-2)
->
4an-1-8an-2=2^n,(2)
...
a2-2a1=2
->
2^(n-1)a2-2^na1=2^n,(n-1)
n-1个式子相加,有;
2an-2^na1=(n-1)*2^n
2an=(n-1)*2^n+2^(n+1)
=(n+1)*2^n
通项公式是
an=(n+1)*2^(n-1),(n为n)