Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n，n∈N*（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：n?12＜a1a2+a

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n，n∈N*（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：n?12＜a1a2+a2a3+…+anan+1＜n2．

Answer 1

解答：（本小题满分12分）
（1）解：∵S_n=2a_n-n，…①
∴a₁=2a₁-1，解得a₁=1…．（1分）
且S_n-1=2a_n-1-（n-1）…②
①-②得a_n=2a_n-1+1…．（2分）
∴a_n+1=2（a_n-1+1），n≥2，
∴{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列…．（3分），
∴an＝2n?1．…．（4分）
（2）证明：∵

an

an+1

＝

2n?1

2n+1?1

＝

2n?1

2(2n? 1 2 )

＜

1

2

…．（6分）
∴

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

．…．（8分）
∵

an

an+1

=

2n?1

2n+1?1

=

2n?1

2(2n? 1 2 )

=

1

2

(1?

1

2n+1?1

)=

1

2

?

1

2?2n+1?2

=

1

2

?

1

2n+1+2n+1?2

＞

1

2

?

1

2n+1

．…．（10分）
∴

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＞

n

2

?(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n+1

)＝

n

2

?

1

2

(1?

1

2n

)＞

n?1

2

，
∴

n?1

2

＜

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

…．（12分）