Question

在三角形ABC中，已知a²=b(b+c),且∠A=80°，求∠C。

Answer 1

解:延长CA到D,使AD=AB,连接BD,则:∠D=∠ABD=(1/2)∠BAC=40°.

∵a²=b(b+c),即BC²=CA*CD,BC/CA=CD/BC;

又∠C=∠C.

∴⊿BCA∽⊿DCB(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似);

∴∠CBA=∠CDB=40°,∠C=180°-∠CAB-∠CBA=60°. 

Answer 2

已知a的平方等于b(b+c)，即a²=b²+bc
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA
两式相减 bc-c²+2bccosA=0
b-c+2bcosA=0
由正弦定理，化为角的形式
sinB-sinC+2sinBcosA=0
sinB-sin(A+B)+2sinBcosA=0
sinB-(sinAcosB+sinBcosA)+2sinBcosA=0
sinB=sinAcosB-sinBcosA=sin(A-B)
所以B=A-B
故∠A=2∠B
∠B=40°
∠C=60°

追问

为什么可以化成角的形式啊

追答

根据正弦定理
a/sina=b/sinb=c/sinc=2r
a=2rsina b=2rsinb c=2rsinc
2r 消掉 就是了

追问

sinC=sin(A+B)?

追答

sinc=sin(180-(a+b))=sin(a+b)