Question

设z=xf(y/x)+2yf(x/y),f具有二阶连续导数且δ²z/δxδy|x=a值为-by²,a³b=3,(a,b>0),求f(x)

Answer 1

ðz/ðx=f+x*f'*(-y/x^2)+2y*f'*(1/y)=f-(y/x)*f'+2f'；
ðz/ðxðy=f'*(1/x)-(y/x)*f''-(1/x)*f'+2(-x/y^2)*f''=-(y/x+2x/y^2)*f''；
将b=3/a^3，ðz/ðxðy=-by^2=-3y^2/a^3，x=a代入上式得：
(y/a+2a/y^2)*f''=3y^2/a^3；即：f''=(3y^2/a^3)/(y/a+2a/y^2)=3y^4/(a^2*(y^3+2a^2))；
f=∫(∫f''dy)dx=∫dx∫(f''dy=∫dy∫dy{3y^4/(a^2*(y^3+2a^2))}；

上式中对y的积分是一个超越函数，将其分解因式：
3y^4/(a^2*(y^3+2a^2))=3y+[6a/(y+a)]-[6a(y-2a)/(y^2-ay+a^2)]；

上式右端因式前二项的积分=3/2y^2+6a*ln(y+a)+C1；
第三项积分＝-3a*ln(y^2-ay+a^2)+6a√(3)*arctan[2(y^2-ay+a^2)/a√3]；
将以上结果代入f的积分式即得最终结果：
f=C2+C1*x+x*{3/2y^2+6a*ln(y+a)-3a*ln(y^2-ay+a^2)+6a√(3)*arctan[2(y^2-ay+a^2)/a√3]}；

费了半径劲，结果却是不正确的，f本应是一元函数，最后出来个二元函数。此题原不能求出结果，因为f的二阶导数虽然形式上表现一样为f"，内涵并不同，一个是（y/x）的函数，一个是（x/y）的函数，前面推导过程中将其系数合并应属错误。不知为什么会弄出这种题目。

Answer 2

过程有点多 我就说下大概的步骤吧
1.求完偏导后方程两边同时对Y积分，得-y/a*f'(y/a)+f(y/a)+2f'(a/y)=-y^3/a^3+c
2.令y/a=x,上式两边同时除以-x^2后对X积分，得f(x)/x+2f(1/x)=x^2/2+c/x——A
3.令x=1/x，代入A后，得方程B，AB联立解得f(x)=-x^3/6+2cx/3+x^(-2)/3-3c