Question

已知函数f（x）=ax²+2x+c（a、c∈N）满足：①f（1）=5；②6＜f（2）＜11 1.求a、c的值

2.若对任意的实数x∈[1/2,3/2]，都有f（x）-2mx≤1成立，求实数m的取值范围

Answer 1

1. a*1^2+2*1+c=5，即 a+c=3.....(1)
6<a*2^2+2*2+c<11 即 2<4a+c<7.....(2)
(2)-(1)得 -1<3a<4 -1/3<a<4/3 因为a、c∈N，所以 a=1，c=3-a=2。
2. f(x)=x^2+2x+2
当x∈[1/2,3/2]时，f（x）-2mx≤1 即 x^2+2x+2-2mx<=1 x^2+2(1-m)x+1<=0 先解方程，
x=m-1±√（m^2-2m）开口向上，所以，不等式的解为：m-1-√（m^2-2m）=<x<=m-1+√（m^2-2m） 即m-1-√（m^2-2m）>=1/2和m-1+√（m^2-2m）<=3/2，也就是m<=9/4和m<=25/12，因为9/4=27/12>25/12，所以 m<=25/12 即m∈(-∞,25/12]

Answer 2

第一题的第二问函数值是11还是111？ 应该是11吧，结果就是a=1，c=2.
第一题的结果带入第二问得到x*x+2（1-m）*x+1小于0.可以看出不等式左边是开口向上的抛物线，要对x在取定范围内有解，则只要不等式左边x取二分之一和三分之二时都小于0.解得m大于等于六分之二十六。

追问

11，然后第一问是求a、c的值

追答

哦，对，第一问a还可能取0，b取3

Answer 3

a=0 c=3
或a=1 c=2
m>=3

追问

没有过程么？

Answer 4

a、c∈N+ ？

追问

是的

追答

（1）由f（1）=5知a+c=3，由6＜f（2）＜11 知2＜4a+c＜5，即 -1＜3a＜4，得出a=1，故c=2.
（2）f(x)-2mx≤1可化为x²+（2-2m)x+1≤0
若 -（1-m）≤1/2，即m≤3/2, f(3/2)≤0，得出m≥25/12,矛盾，除去
若-（1-m）≥3/2，即m≥5/2，f(1/2)≤0，得出m≥9/4，取公共部分，得m≥5/2
若1/2＜ -（1-m）＜3/2,即3/2＜m＜5/2，f(3/2)≤0且f(1/2)≤0，得出m≥9/4，公共部分，得9/4≤m＜5/2
综上所述，m≥9/4