Question

已知函数f（x）=ax²+2x+c（a、c∈N）满足：①f（1）=5；②6＜f（2

已知函数f（x）=ax²+2x+c（a、c∈N）满足：①f（1）=5；②6＜f（2）＜11 1.求a、c的值
2.若对任意的实数x∈[1/2,3/2]，都有f（x）-2mx≤1成立，求实数m的取值范围

Answer 1

f(1)=a+c+2=5 a+c=3 6<f(2)<11 6<4a+c+4<11 6<4a+3-a+4<11 -1/3<a<4/3 a是正整数，a=1 c=2
(2)x^2+2x+2-2mx≤1 2mx≥x^2+2x+1 x∈[1/2,3/2] m≥1/2(x+1/x)+2 y= x+1/x 在 (0,1)是减函数，（1，正无穷）是增函数，所以y=x+1/x的最大值是两个端点的较大值，即x=1/2 x+1/x=5/2 x=3/2 x+1/x=13/6 所以x+1/x的最大值是5/2 1/2(x+1/x)+2的最大值是5/4+2=13/4
所以m≥13/4