Question

数学题，（几何证明）题，求大神解答~

看了1—5楼的回答，各种忽悠啊，无语了，真的大神呢？

Answer 1

A=180-B-C
B=180-A-C
C=180-A-B
因为DEF是正三角形
所以
DEF=EFD=FDE=60
所以
ADE+BDF=120
AED+CEF=120
BFD+CFE=120
设角ADE是X度
BDF=120-X
设角EFC是Y度
DFB=120-60-Y
所以
角B=180-(120-X)-(120-Y)
设FEC是Z度
所以
C=180-Y-Z
AED=180-DEF-Z
AED=120-Z
A=180-B-C
代入上面B C
A=180-(180-(120-X)-(120-Y))-(180-Y-Z)
A=180-(180-120+x-120+y)-180+y+z
A=180-180+120-x+120-y-180+y+z
A=180-180+120+120-180-x-y+x+y
A=60
下来继续
A+X+AED=180
代入一下上面证明的
60+X+120-Z=180
X-Z=0

Answer 2

因为 三角形DEF是正三角形
因为 AD=BE=CF
所以 三角形ADF全等三角形BED 全等三角形 CFE
所以 DB=EC=FA（全等三角形对应边相等）
所以 AF+DB=BE+EC=FC+FA
=AB=BC=CA(等量代换)
所以 三角形ABC是正三角形

......我认为是这麽做的... ...

追问

你的第一个“所以”是逗我玩的吧？

Answer 3

设∠A∠B∠C中∠A最大
∴BC＞AB和AC
∵AD=BE=CF
∴CE＞BD和AF
∴∠CFE＞∠BED和∠ADF
∵当两边固定长时，它的夹角增加时，对应三角形的另外两个角随着减少
∴∠C＜∠B和∠A
∵∠A∠B∠C中∠A最大
∴∠AFD＞∠CEF和∠BDE
∵∠AFD＋60°=∠C＋∠CEF
∴∠C＞60°
∵∠C是△ABC中最小的角
∴∠C不可能大于60°
∴三个角只能都等于60°

追问

谢谢，你的答案我有几个疑问：
①第六行“∴∠CFE＞∠BED和∠ADF” 这个算是大角对大边的应用吗，可是不在一个三角形中，不知这样有没有根据？
②你用了一个理论“当两边固定长时，它的夹角增加时，对应三角形的另外两个角随着减少”，不知这个有现成的理论或者推论吗？

因为这是这是证明题，所有的步骤都需要有理有据，你说的我暂时没看出明显破绽，但恕我无知，以上两点，还请明示。

追答

这里用了两个明显的结论，而不是大角对大边。
①当三角形两边不变时，第三边增大时，第三边对的角也增大。
②当三角形两边不变时，第三边对的角增大时，其余两角都变小。
证明：①设三角形三边为a,b（定量），x(变量）
cos∠C=(a^2+b^2-x^2)/2ab 在（0，π）是增函数，即第三边增大时，第三边对的角也增大。
②设三角形两边为a,b（定量），第三边对的角增大时,另两角必有一个角变小，否则与三角形内角和矛盾，不妨设A变小
因为a/sinA=b/sinB,可得B也变小，即第三边对的角增大时，其余两角都变小。

我想问：
②当三角形两边不变时，第三边对的角增大时，其余两角都变小。
是否正确？还是我的证明出现错误了？为什么你说这个结论不对呢？

追问

我没说你这个结论不对，作为证明题，每一步都需要有现成的理论来支持，而不是再证明。
如果：你的结论本来就是个定理，而我不知道，那请你原谅我知识水平有限；
如果：你的结论是你论证出来的，不论对错，那我认为你答案的思路的复杂程度高于最佳答案了。
最佳答案把E、F搞混淆了，如果是考试是0分，但思路方法无懈可击。
我的观点是一家之言，不必太放心上，再谢你的热情~

追答

1.不过我细想了一下，②当三角形两边不变时，第三边对的角增大时，其余两角都变小。
是错的，我的证明是有问题，
2.作为证明题，每一步都需要有现成的理论来支持，而不是再证明。这个观点不足取或不正确
3.没有别的，我只是想弄明白我的证明错误出在那里？
4.由于最佳答案把E、F搞混淆了，我没有细看，以为错了，我在看看是否正确
5.我看了一下最佳答案：发现错误如下：
“A=180-180+120-x+120-y-180+y+z
A=180-180+120+120-180-x-y+x+y
A=60 ”
这里第一行是对的，第二。三行是错的，应为
A=180-180+120+120-180-x-y+z+y
A=60-x+z
这样等于没有证明，
希望你再看看，谢谢

追问

最佳答案是错误的，我当时看马虎了，后面的Z突然消失了，所以说最佳答案完全是个笑话，我在下面评论中已经说明了。
你的证明当②中有几步我确实没能理解……

后来我在网上也查了很多资料，至今没找到答案

追答

这题是1998年IBM公司出的题，用同心圆的方法证，不过我想会证明出来的，等我证明后再告诉你

Answer 4

是
①用高中所学正弦定理可证∠A、∠B、∠C的正弦函数相等
故三个角相等②设∠A∠B∠C中∠A最大
∴BC＞AB和AC
∵AD=BE=CF
∴CE＞BD和AF∴∠CFE＞∠BED和∠ADF∵当两边固定长时，它的夹角增加时，对应三角形的另外两个角随着减少
∴∠C＜∠B和∠A
∵∠A∠B∠C中∠A最大
∴∠AFD＞∠CEF和∠BDE∵∠AFD＋60°=∠C＋∠CEF∴∠C＞60°
∵∠C是△ABC中最小的角
∴∠C不可能大于60°
∴三个角只能都等于60° （可证明或带数字试）

追问

谢谢，
不过我不明白：你的“①用高中所学正弦定理可证∠A、∠B、∠C的正弦函数相等”——这是在逗我玩吗？

追答

。。。这个方法是我老师给我说的。。。
不可能老师逗我玩吧

追问

正弦定理，应该是对某个三角形而言吧，本题怎么可证∠A、∠B、∠C的正弦函数相等？
在三角形ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是BC、AC、AB，可这三个边都是未知的啊！
不知是你们老师不行，还是我无知。。

追答

(⊙_⊙) 嗯
不是a/sinA=b/sinB=c/sinC吗？
那只要证明到sinA=sinB=sinC
就能证到a=b=c
从而证出这是一个正三角形

Answer 5

楼主：你的这道题是有点难，做了一天没做出来。估计这是一道有名的题目。
上面的人做的都不对。
我再CAD上画了，结论是对的。不好意思，没能帮上忙。

追问

谢谢，我也想到了CAD，同心圆等方法，但是没能有力的证明这个结论，呵呵

追答

ADE+BDF=120
AED+CEF=120
BFD+CFE=120
楼主：我在满意回答中没法理解上面的等式，你再仔细看看，
今天我在CAD上又画了一遍，觉得结论不成立。

追问

答题者把E、F搞混了，把F换成E，E换成F就对了。

Answer 6

以上都不对，这题是IBM在1998年发给全世界数学家做的，用同心圆的方法分了5种情况讨论~哈哈~忘了这题吧

追问

哦，谢谢了，既然这样，那我也算服了，呵呵。
我也想到用同心圆的方法讨论，但感觉很复杂，本来希望有大神能让我豁然开朗的……

Answer 7

是的。
因为BE=AD=CF AB=BC=AC
所以BD=EC=AF 又角A=角B=角C
所以△ADF≌△BED≌△CFE
所以EF=DE=EF 所以三角形DEF为等边三角形

追问

请认真看看题目，好吗，谢谢

追答

对不起啊。。 刚看错题了。。
倒过来证的话。。 我先还是用全等的方法证明。结果差一个角相等的条件 所以全等证不出来
那么换个思路想， 用反证法，如果△ABC是等边三角形 ，可以倒推得△DEF是等边，所以△ABC为等边三角形

追问

朋友，你的数学水平我不敢恭维啊，逻辑也有问题。。。看看这句话——“那么换个思路想， 用反证法，如果△ABC是等边三角形 ，可以倒推得△DEF是等边，所以△ABC为等边三角形”——这叫反证法？
你先学学什么叫充分条件，什么叫必要条件吧。
不过谢谢你的热情！