Question

函数f(x)=Inx-a(x-1)/x (x>0,a属于R）

（1）试求f（x）的单调区间
（2）当a>0时，求证，函数f（x)的图像存在唯一零点的充要条件是a=1

Answer 1

解：（1）f'(x)=1/x-a/x^2=(x-a)/x^2 (x>0)
当a<=0时，则f'(x)>0恒成立
故此时，f(x)在整个定义域上为增
当a>0时，则当x>a时，f'(x)>0 增
当0<x<a ,f'(x)<0 减
故此时，f(x)在（0,a)上为减，在（a,正无穷）为增
（2）证明：充分性：当a=1时，由（1）知，此时当x>1时，f'(x)>0 增
当0<x<1 ,f'(x)<0 减,当x=1时，f'(x)=0
故x=1是f(x)极小值点，也是取得最小值的点，而f(1)=0
且有且只有x=1时，才有f(x)=0
故此时函数f（x)的图像存在唯一零点
必要性：由（1）知，
当a>0时，则当x>a时，f'(x)>0 增
当0<x<a ,f'(x)<0 减
f'(a)=0 极小值点
故此时，f(x)在（0,a)上为减，在（a,正无穷）为增
故f(x)此时的最小值为f(a)=lna-a+1
因此要使函数f（x)的图像存在唯一零点
则需满足f(a)=lna-a+1=0 (a>0)
易知当a=1时，f(a)=f(1)=0
下面再证明lna-a+1=0 有唯一的根a=1
f'(a)=1/a-1=(1-a)/a
则当a=1时，f'(a)=0
当0<a<1,f'(a)<0 减
当a>1,f'(a)>0 增
故当a=1时，f(a)取得最小值为f(1)=0
故当且仅当a=1时，才有f(a)=0
即lna-a+1=0 有唯一的根a=1得证
综上所述，函数f（x)的图像存在唯一零点的充要条件是a=1
总算写完了！