Question

一道数学几何题，求详细过程，谢谢！

如图所示，△DEF是正三角形，且AD=BE=CF，试判断△ABC是正三角形吗？若是，请予以证明；若不是，请说明理由。

Answer 1

∵△DEF为正三角形

   ∴∠2=∠5，DE=DF

又∵∠3+∠4=∠1+∠2

    ∠3+∠7=∠5+∠6

∴∠4=∠1，∠7=∠6

又∵DE=DF，AD=BF

∴△DBF≌△EAD（SAS）

∴BD=AE

∴BD+AD=AE+CE，即AB=AC

同理可证BC=AB

∴AB=BC=AC，即△ABC为正三角形

Answer 2

三角形ABC是正三角形
用反证明法证
证明：假如三角形ABC不是正三角形，是等腰三角形，AB=AC
因为AD=CF
AB=BD+AD
AC=AF+CF
所以BD=AF
因为三角形DEF是正三角形
所以DE=DF
因为BE=AD
所以三角形ADF和三角形BED全等（SSS)
所以角B=角A
所以BC=AC
所以AB=BC=AC
所以三角形ABC是正三角形这与假设的条件矛盾
所以假设不成立
所以三角形ABC是正三角形

Answer 3

设∠A∠B∠C中∠A最大
∴BC＞AB和AC
∵AD=BE=CF
∴CE＞BD和AF
∴∠CFE＞∠BED和∠ADF
∵当两边固定长时，它的夹角增加时，对应三角形的另外两个角随着减少
∴∠C＜∠B和∠A
∵∠A∠B∠C中∠A最大
∴∠AFD＞∠CEF和∠BDE
∵∠AFD＋60°=∠C＋∠CEF
∴∠C＞60°
∵∠C是△ABC中最小的角
∴∠C不可能大于60°
∴三个角只能都等于60°

Answer 4

证明：假设△ABC不等边，不妨设∠A＞60°＞∠B
那么有：
∠AED=180°-∠A-∠ADE
=180°-∠A-（120°-∠BDF）
=60°-∠A+∠BDF
因为60°＜∠A，所以∠BDF＞∠AED
∠ADE=120°-∠BDF
=120°-（180°-∠B-∠BFD）
=∠B-60°+∠BFD
因为∠B＜60°，所以∠BFD＞∠ADE
根据正弦定理：
BF/DF=sin∠BDF/sinB；
AD/DE=sin∠AED/sinA；
∵BF=AD，DF=DE，
∴sin∠BDF/sinB=sin∠AED/sinA
∵∠A＞∠B，DE=DF
∴sin∠AED＞sin∠BDF，而∠BDF＞∠AED，
所以∠BDF＞∠AED＞90°，且∠ADE＜∠BFD＜30°
根据余弦定理：则有BD＞AE
设DE=DF=FE=a，AD=BF=CE=b，因为∠BDF＞∠AED＞90°，所以钝角边大于锐角边
即AD＞DE，BD＞DF，b＞a，
因为∠BDF＞∠AED＞90°，所以cos∠BDF＜cos∠AED根据余弦定理
cos∠BDF=（BD²+a²-b²）/2aBD=BD/2a+（a²-b²）/2aBD
cos∠AED=（AE²+a²-b²）/2aAE=AE/2a+（a²-b²）/2aAE
即BD/2a+（a²-b²）/2aBD＜AE/2a+（a²-b²）/2aAE
即BD-AE＜（a²-b²）（1/AE-1/BD）=（a²-b²）(BD-AE)/（AE×BD）
由于BD＞AE，
因此（a²-b²）/（AE×BD）＞1
可是b＞a，a²-b²＜0，AE×BD＞0，所以显然不成立
所以假设不成立
△ABC是正三角形。

Answer 5

解：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，
∴AE=BF=CD，
又∵∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是等边三角形．