Question

已知函数f（x）=（ax+3）/（x^2+1） (1)若函数f（x）的值域为[-1,4]， 求实数a的值

(2)若函数f(x)对于定义域内的任意X值，都有f(x)∈[-1,4]，求实数a的值
请问（1）与（2）的区别是什么？

Answer 1

解：（1）由y=（ax+3）/（x^2+1）
得yx^2-ax+y-3=0
这判别式=a^2-4y(y-3)>=0
若函数f（x）的值域为[-1,4]，
则a^2-4y(y-3)=0 的两个根为-1和4
故由韦达定理得-a^2/4=-1*4=-4
解得a=4或-4
（2）a^2-4y(y-3)>=0
若函数f(x)对于定义域内的任意X值，都有f(x)∈[-1,4]
即y∈[-1,4]
设g(y)=-4y^2+12y+a^2 开口向下
故要满足当a^2-4y(y-3)>=0 解出的y∈[-1,4]
则要满足条件：判别式=144+16a^2>=0且g(-1)<=0,g(4)<=0,-1<对称轴y=3/2<4
从而解得-4<=a<=4
区别：（1）的值域是确定的，即为[-1,4]，故其表达式是固定的，也即a的值是确定的；而（2）则是f(x)的值域属于[-1,4]，也就是说值域不一定就是[-1,4],只要值域包含在[-1,4]里面即可，因此a此时是一个范围！

Answer 2

第一题值域等于[-1,4]；第二题值域包含于[-1,4]，就是说可以比它范围小。
所以第一问解出来是一个值，第二题是一个范围。