Question

如图，在△BCD中，BE平分∠DBC交CD与F,延长BC至G，CE平分∠DCG，且EC、DB的延长线交于A点，若∠A=30°，

∠DFE=75°。
（1）求证：∠A+∠D+∠E；
（2）求∠E的度数；
（3）若在上图中∠CBE与∠GCE的角平分线交于E1，作∠CBE1与∠GBE1的平分线交于E2，作∠CBE2与∠GCE2的平分线E3，依次推理，∠CBEn与∠GCEn的平分线交于En+1，请用含有n的式子表示∠En+1的度数

Answer 1

1、证明：
∵∠DCE＝∠A+∠D，∠DFE＝∠DCE+∠E
∴∠DFE＝∠A+∠D+∠E
2、解：
∵∠DCG＝∠D+∠DBC，CE平分∠DCG
∴∠ECG＝∠DCG/2＝（∠D+∠DBC）/2
∵BE平分∠DBC
∴∠EBC＝∠DBC/2
∵∠ECG＝∠E+∠EBC＝∠E+∠DBC/2
∴∠E+∠DBC/2＝（∠D+∠DBC）/2
∴∠E＝∠D/2
∴∠D＝2∠E
∵∠DFE＝75, ∠A＝30, ∠DFE＝∠A+∠D+∠E
∴∠D+∠E＝∠DEF-∠A＝75-30＝40
∴2∠E+∠E＝40
∴∠E＝40/3
3、解：
∵∠ECG＝∠E+∠EBC，CE1平分∠ECG
∴∠E1CG＝∠ECG/2＝（∠E+∠EBC）/2
∵BE1平分∠EBC
∴∠E1BC＝∠EBC/2
∵∠E1CG＝∠E1+∠E1BC＝∠E1+∠EBC/2
∴∠E1+∠EBC/2＝（∠E+∠EBC）/2
∴∠E1＝∠E/2
同理：∠E2＝∠E1/2
∴∠E2＝∠E/4＝∠E/2²
∴∠En+1＝∠E/2的（n+1）次方

Answer 2

利用“三角形一个外角等于两个不相邻的内角的和”
∠A+∠D=∠DCE
∠DCE+∠E=∠DFE
所以，∠A+∠D+∠E=∠DFE=75°。

Answer 3

求证本身有问题

追问

打漏了
应该是：∠DFE=∠A+∠D+∠E