Question

已知函数f（x）=2cosx*sin（x+π/3）-根号3sin^x+sinxcosx 1.求函数f（x)的单调递减区间

2.若函数f（x-m）为偶函数，求m的最小正值

Answer 1

f(x)=2cosx*(1/2*sinx+√3/2*cosx)-√3sin²x+sinxcosx
=sinxcosx+√3*cos²x-√3sin²x+sinxcosx
=2sinxcosx+√3(cos²x-sin²x)
=sin2x+√3cos2x
=2(1/2*sin2x+√3/2*cos2x)
=2sin(2x+π/3)
(1)令2kπ+π/2≤2x+π/3≤2kπ+3π/2
解得：kπ+π/12≤x≤2kπ+7π/12
所以f(x)的单调递减区间集合为[kπ+π/12，2kπ+7π/12] (k∈Z)
(2)f(x-m)=2sin(2x-2m+π/3)
=2sin2x*cos(2m-π/3)-2cos2x*sin(2m-π/3)
要使f(x-m)是偶函数，那么只能存在cos2x的形式
所以cos(2m-π/3)=0，那么2m-π/3=kπ+π/2 (k∈Z)
所以m=kπ/2+5π/12>0
那么k>-5/6，那么取k=0时，m=5π/12是符合要求的最小正值
(这一题实际上就是“奇变偶不变”，所以直接就有2m-π/3必须是π/2的奇数倍)