Question

高二数列

已知a>0且a≠1，数列{an}是首项为a，公比为a的等比数列，令bn=an*lgan(n∈N*）
（1）当a=2时，求数列{bn}的前n项和Sn;
（2）若数列{bn}中的每一项总小于它后面的项时，求a的取值范围

Answer 1

1、
a=2，则an=a1·q^(n-1)=2^n
∴bn = an·lgan = 2^n·lg(2^n) = n·2^n·lg2
Sn =(1×2^1+2×2^2+3×2^3+……+n×2^n )·lg2
2Sn= [1×2^2+2×2^3+……+(n-1)×2^n + n×2^(n+1)] ·lg2
两式相减，得：
Sn=[-2^1 - 2^2 - 2^3 -……-2^n + n×2^(n+1) ]·lg2
=[-2(1-2^n)/(1-2) + n×2^(n+1)]·lg2
=[ n×2^(n+1) - 2^(n+1) + 2]·lg2
=[ (n-1)×2^(n+1) + 2]·lg2

2、
an=a^n
bn= an·lgan = a^n·lg(a^n) = n·a^n·lga
∵bn＜b(n+1)
∴n·a^n·lga＜(n+1)·a^(n+1)·lga
①0＜a＜1，则 lga＜0
∴n·a^n＞(n+1)·a^(n+1)， 两边约去a^n，得：
n＞(n+1)·a
∴a＜n/(n+1)恒成立
∵n/(n+1)≥1/2
∴0＜a＜1/2
②a＞1，则 lga＞0
∴n·a^n＜(n+1)·a^(n+1)， 两边约去a^n，得：
n＜(n+1)·a
∴a＞n/(n+1)恒成立
∵a＞1，而n/(n+1)＜1
∴上式恒成立
∴a＞1

综上，0＜a＜1/2或a＞1