Question

如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC上任意一点,过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，CG是AB边上的高。

问：DE，DF,CG的长之间存在着怎样的等量关系？请说明理由。
急！！！！！！！

Answer 1

方法一：解：CG=DE+DF．
理由如下：
连接AD，由S△ABC=S△ABD+S△ACD=1 /2 AB•CG=1 /2 AB•DG+1 /2 AC•DF，
∵AB=AC，
∴CG=DE+DF．

方法二：设BD=a，CD=b。过B点做BH⊥AC于H，则因为DF⊥AC，所以DF平行BH，△CDF与△BCH相似。则DF/BH=b/（a+b） （1）
同理得：DE/CG=a/（a+b） （2）
（1）+（2）得 DF/BH+DE/CG=1
又因为等边三角形所以CG=BH
所以DE+DF=CG
方法三：
此题，要做辅助线： “截长法”。不知道你听过没有。
解：（辅助线可这样子做：在CG上取GH等于ED，连接DH。则四边形DEGH为长方形。
或是说过D点做DH垂直CG于H.则四边形DEGH为长方形。）

因为四边形DEGH为长方形，所以DE＝GH 而CG=GH+CH
那么我们只用再证明CH=DF就可以了。
要证明CH=DF
就是要证明三角形DHC全等于三角形CFD就行了。这个很好证明。
用题目所给的AB=AC
再加上垂直90度。很容易用“角角边”证明。

我只给个提示吧，希望LZ自己接着做下去。

Answer 2

CG＝DE+DF
证明：连接AD
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴S△ABD＝AB×DE/2, S△ACD＝AC×DF/2
∵CG⊥AB
∴S△ABC＝AB×CG/2
∵S△ABC＝S△ABD+ S△ACD
∴AB×CG/2＝AB×DE/2+ AC×DF/2
∵AB＝AC
∴CG＝DE+DF