Question

已知f(x)=（x^2-2x+2）/x

已知f(x)=（x^2-2x+2）/x
(1)判断f（x）在（0,1/4]上的单调性，并证明。
(2)f（x）在（0,1/4]上的值域。

Answer 1

f(x)=[x+(2/x)]-2
(1)
对任意的0<x1<x2≤1/4
y1-y2=(x1-x2)+2(1/x1-1/x2)
=(x1-x2)+2(x2-x1)/x2*x2
=(x1-x2)[1-2/x1*x2]
=(x1-x2)[(x1*x2-2)/x1*x2
因为0<x1<x2≤1/4
所以，
(x1-x2)<0; x1*x2<1/16<2==>(x1*x2-2<0)
y1-y2>0
y1>y2
所以函数，f(x)在（0，1/4]上单调减，
（2）
由于函数在（0，1/4]上单调减，所以f(x)≥f(1/4)=25/4
所以函数f(x)的值域为【25/4,+∞)

Answer 2

解：
f(x)=x+2/x-2
(1)f(x)在（0,1/4]上单调递减

证明：令0<x1<x2≤1/4，那么x2-x1>0，2/x1x2>2/(1/4*1/4)=32：

f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+2/x1-2/x2
=(x1-x2)+2(x2-x1)/x1x2
=(x2-x1)[2/x1x2-1]
>0
所以f(x)在（0，1/4]上是减函数

（2）当x趋向于0，f(x)趋向于正无穷，
而f(x)≥f(1/4)=1/4+8-2=25/4

所以值域是[25/4,+无穷大)