Question

给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角120°,点C在以O为圆心的 圆弧AB上变动

给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角120°,点C在以O为圆心的
圆弧AB上变动，若向量OC=x向量OA+y向量OB，求x+y的最大值（希望解法能简洁巧妙）

Answer 1

由已知，|OA|=|OB|=|OC|=1 ，且 OA*OB=cos120= -1/2 ，
因此由已知得 OC^2=x^2+y^2+2xy*OA*OB ，
即 x^2+y^2-xy=1 ，
所以 (x+y)^2-3xy=1 ，
由于 xy<=(x+y)^2/4 ，
则 (x+y)^2-1=3xy<=3/4*(x+y)^2 ，
解得 x+y<=2 ，
即当 x=y=1 时，x+y 最大值为 2 。

追问

这种解法我知道 但因我老师以前介绍过一种更简捷的解法 但我不记得了 希望有更简单的解法 不过谢谢了

Answer 2

郭敦顒回答：
∵点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，
∴向量OC的模|OC|=1 ，注意，向量OC的大小为定值1，
∴当∠AOC=∠COB=60°，△AOC与△COB均为等边△时，四边形OACB为棱形，对角线为OC，
在向量OC=x向量OA+y向量OB中，x=1，y=1，x+ y=2最大。