Question

已知函数f(x)=2，x＞1；(x-1)²+1，x≤1。则不等式f（1-x²）＞f(2x)的解集是？

需要详细过程，谢谢。

Answer 1

解：先判断g(x)=1-x^2的值域，易知，其值域为y<=1,此时x=0
所以
(1)当1/2>=x>=0时，3/4<=1-x^2<=1, 2x<=1
原不等式即 （1-x^2-1)^2+1>(2x-1)^2+1
（-x^2)^2-(2x-1)^2>0
(-x^2+2x-1)(-x^2-2x+1)>0
(x^2-2x+1)(x^2+2x-1)>0
x^2+2x-1>0
x>-1+√2 (x<-1-√2舍去）
所以，当1/2>=x>=0时，原不等式解集为-1+√2<x<=1/2

(2)当x>1/2时，1-x^2<3/4<1,, 2x>1
原不等式即
(1-x^2-1)^2+1>2
(x^2)^2>1
x>1 (x<-1舍去）
所以，当x>1/2时，原不等式解集为x>1

(3)当x<0时，1-x^2<1, 2x<0
原不等式即 （1-x^2-1)^2+1>(2x-1)^2+1
（-x^2)^2-(2x-1)^2>0
(-x^2+2x-1)(-x^2-2x+1)>0
(x^2-2x+1)(x^2+2x-1)>0
x^2+2x-1>0
x<-1-√2( x>-1+√2舍去）
所以，当x<0时，原不等式解集为x<-1-√2

Answer 2

因为x≤1,；f(x)=(x-1)²+1
所以1-x²<1,f（1-x²）=(x-1)²+1
因为,x＞1,f(x)=2
所以2x>1,f(2x)=2
(x-1)²+1>2
(x-1)²>1
x1>2,x2<0
不等式f（1-x²）＞f(2x)的解集是{负无穷,0}u{2,正无穷}