Question

如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是BC的中点,AE=BF. 求证：(1)DE=DF (2)△DEF是等腰直角三角形

Answer 1

分析：因为∠BAC=90°，AB=AC，D是BC的中点，AE=BF，连接AD，可证明△DAE≌△DBF，则有DE=DF，再用角与角之间的关系求得∠DEF是直角，即可判断△DEF为等腰直角三角形

解：连接AD，

∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠C=45°．

∵AB=AC，DB=CD，

∴∠DAE=∠BAD=45°．

∴∠BAD=∠B=45°．

∴AD=BD，∠ADB=90°．

∵AE=BF，∠DAE=∠B=45°，AD=BD，

∴△DAE≌△DBF（SAS）．

∴DE=DF，∠ADE=∠BDF．

∵∠BDF+∠ADF=∠ADB=90°，

∴∠ADE+∠ADF=90°．

∴△DEF为等腰直角三角形．

Answer 2

：（1）连接AD
在Rt△ABC中，D为BC中点
∴AD=BD=CD，又AB=AC
∴∠ABD=∠BAD＝∠DAC＝45°
∵AE=BF
∴△BFD≌△AED
∴DF＝DE

（2）由（1）可知，∠BDF=∠ADE，AD⊥BC
∴∠ADF＝∠CDE
∴∠EDF＝∠ADF＋∠ADE＝1/2∠BDC＝90°
∴△DEF为等腰直角三角形