Question

已知点P(2,1)在直线L:x除以a+y除以b=1上，

且直线L与x轴，y轴的正半轴交于a，b两点，O为坐标远原点，求三角形AOB面积最小时直线的方程。

Answer 1

点(2，1)在直线上，则：
(2/a)＋(1/b)=1，得：
1=(2/a)＋(1/b)≥2√[2/(ab)]，得：ab≥8
而直线(x/a)＋(y/b)=1与x轴的交点是A(a，0)，与y轴的交点是B(0，b)，则：
S=(1/2)ab≥4
此时S的最小值是4，且(2/a)=(1/b)=1/2，得：a=4、b=2
从而直线方程是：(x/4)＋(y/2)=1，即：x＋2y－4=0

Answer 2

设直线L的方程为x/a+y/b=1，
由直线L过点P(2,1)得2/a+1/b=1，
由均值不等式得
1=2/a+1/b≥2√(2/a)(1/b)=2√(2/ab)
所以2/ab≤1/4,ab≥8
所以S=0.5ab≥4,当2/a=1/b=1/2时取等号,
此时直线L的方程为x/4+y/2=1.

Answer 3

L：x/a + y/b =1 过点(2,1), 所以 2/a +1/b =1
三角形AOB的面积S = 1/2ab

那么这道题问的就是在ab满足条件2/a +1/b =1 时，求S = 1/2ab的最小值。
由2/a +1/b =1 得b=a/(a-2), so, S = 1/2ab= a^2/(2(a-2)) (a>2), 这是一个关于a的函数，求其最小值，求导=0 ，得到a=4，b=2.

Answer 4

这个结合图形是很好解决的…… 自己想想吧